*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Partie A - Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(E)$ :  $y^{\prime }+5y=5x^3+3x^2+5$ , où $y$ représente une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

1. Résoudre  sur  $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_0)$  : $y^{\prime }+5y=0$ .

2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $u$ , définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=a{x}^3+b$ , est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=k{\text{e}}^{-5x}+x^3+1$ , où $k$ est un nombre réel.
    a. Vérifier que  $h$ est solution  sur  $\mathbb{R}$ de l'équation $(E)$ .
    b. Déterminer le réel  $k$ tel $h(0)=-2$ .

Partie B - Étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3{\text{e}}^{-5x}+x^3+1$ .

1. a. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ .
     b. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ .

2. a. On désigne par $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$ .
     b. En déduire le sens de variation de la fonction  $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations.

3. a. Calculer $f(0)$ et $f(1)$ .
     b. Établir que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0;1]$ .
     c. Donner un encadrement d'amplitude ${10}^{-2}$ du nombre réel $\alpha$ .
     d. Déterminer, selon les valeurs du réel   $x$ , le signe de $f(x)$ .